澳門大學科技學院講座教授兼數學系系主任桂長峰的突破性研究論文《三角形上第二Neumann特徵函數臨界點的唯一性》（Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles）於頂尖數學期刊《數學新進展》（Inventiones mathematicae）發表。這是首次有澳門學者在數學四大頂級期刊發表研究成果，彰顯了澳大數學系在學術界的核心競爭力與影響力。

該研究聚焦於美國數學家Jeffrey Rauch於1974年提出的“熱點猜想”，通過物理現象來理解這一數學問題的核心，在一間絕熱的房間內，局部熱源產生的熱量擴散過程中會出現溫度的極值點。按照直覺，這些溫度極值應僅出現在房間的邊界，而非內部。這一物理直覺在帶有Neumann（絕熱）邊界條件的熱方程框架下，被轉化為嚴謹的數學表述。從數學層面而言，“熱點猜想”的具體斷言為：在平面凸區域中，拉普拉斯算子的第二Neumann特徵函數（即主導溫度向均勻狀態衰減的最慢模式），其最大值與最小值僅存在於區域的邊界處。半個多世紀以來，這一問題受到了眾多國際頂尖數學家的關注，包括菲爾茲獎得主陶哲軒（Terence Tao）、Wendelin Werner，以及國際數學家大會（ICM）報告人Richard F. Bass、David Jerison、Nikolai Nadirashvili 等。學界圍繞不同幾何區域和各類特殊情形展開研究，取得了一系列重要進展，但平面三角形這一最簡單的凸多邊形，卻長期成為研究難題。

研究團隊將研究重點放在三角形情形上，開展了系統且深入的分析工作，取得了多項關鍵成果：一是解決了陶哲軒於2012年在 Polymath Project 7中提出的“第二Neumann特徵函數最大值精確位置”的公開問題；二是完善並完整解決了Judge和Mondal於2020年在《數學年刊》（Annals of Mathematics）提出的邊界臨界點猜想；三是對David Jerison提出的特徵函數單調性相關疑問給出了肯定答案；此外，還針對零點集的分佈、混合邊界特徵值不等式等多個公開問題，提供了明確的肯定解答。這些研究結果通過創新的對稱論證方法和特徵值界限分析得以嚴格確立，不僅深入剖析了三角形中第二Neumann特徵函數的相關性質，其提出的研究方法與所得結論，也為譜幾何、偏微分方程等相關數學領域的研究提供了基礎工具與參考思路。
 
是次成果的發表不僅是對澳大科研實力的重要肯定，也為澳大數學學科進一步深耕國際前沿研究及拓展全球學術合作網絡奠定堅實基礎。該論文是桂長峰聯同華南理工大學數學學院副教授姚若飛、西安交通大學數學與統計學院教授陳紅斌合著。全文可瀏覽：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01398-x。

《數學新進展》（Inventiones Mathematicae）與《數學學報》（Acta Mathematica）、《數學年刊》（Annals of Mathematics）、《美國數學會雜誌》（Journal of the American Mathematical Society）並稱數學領域的四大頂級期刊，是衡量國際數學研究最高學術水平的重要標杆。